Elemek, Set-Builder Notation, Intersecting Sets, Venn Diagramok
Beállítja az áttekintést
Matematikailag a készlet egy gyűjtemény vagy objektumok listája.
A készletek nem csak számokból állnak, de tartalmazhatnak bármit, beleértve:
- a hűtőszekrényben lévő étel;
- a naprendszerben lévő bolygók;
Bár a készletek bármit is tartalmazhatnak, gyakran olyan számokra utalnak, amelyek megfelelnek a mintának, vagy valamilyen módon kapcsolódnak egymáshoz, például:
- a pozitív páros számok száma 10-nél kisebb: (0, 2, 4, 6, 8);
- a 12-es számú tényezőt: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Állítsa be a jelölést
A készletben lévő objektumokat elemeknek nevezzük, és a következő jelöléseket vagy egyezményeket használjuk a készletekkel:
- Egyes nagybetűket használnak a készletek azonosítására - például J, E vagy F ;
- Kisbetűket vagy számokat egy készlet elemeihez használnak;
- A göndör beillesztések {} jelöli az elemek listáját egy készletben;
- A vesszőket a set elemek elkülönítésére használják.
Így például a beállított jelölés:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Elemrend és ismétlés
A készletben levő elemeknek nem kell egy adott sorrendben lenniük, így a fenti J-készlet a következőképpen is írható:
J = {saturn, jupiter, neptune, uranus}
vagy
J = {neptune, jupiter, uranus, saturn}
Az ismétlődő elemek sem változtatják meg a készletet, így:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
és
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune, jupiter, saturn}
ugyanazok a készletek, mivel mindkettő csak négy különböző elemet tartalmaz: jupiter, saturn, uranus és neptune.
Szettek és ellipszek
Ha egy készlet végtelen - vagy korlátlan számú eleme van, akkor egy ellipszis (...) használatos annak kimutatására, hogy a készlet mintája folyamatosan folytatódik ebben az irányban.
Például a természetes számok halmaza nulla, de nincs vége, így a következő formában írható:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Egy másik speciális számcsoport, amelynek nincs vége, az egész számok halmaza. Mivel az egészek pozitívak vagy negatívak lehetnek, mindazonáltal a készlet mindkét végén ellipsziseket használ fel annak bizonyításához, hogy a készlet örökké megy mindkét irányban:
{ ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Egy másik ellipszis használata az, hogy kitöltse a közepén egy nagy készlet, mint például:
{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}
Az ellipszis azt mutatja, hogy a mintázat - csak páros számok - folytatódik a készlet íratlan szakaszán keresztül.
Speciális készletek
A gyakran használt speciális készleteket speciális betűk vagy szimbólumok segítségével azonosítják. Ezek tartalmazzák:
- Ø vagy {} - az üres készlet - egy elemet tartalmazó elem ;
- U - az univerzális készlet - egy készlet, amely minden elemet tartalmaz egy adott meghatározott definícióhoz képest ;
- Z - az összes egész számkészlet: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
- N - természetes számok (pozitív egész számok): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Roster vs. Leíró módszerek
Egy készlet elemeinek megírása vagy felsorolása, mint például a belső vagy a földi bolygók készlete a naprendszerünkben, elnevezési névként vagy a listázási módszernek nevezzük.
T = {higany, vénusz, föld, mars}
A készlet elemeinek azonosítására szolgáló másik lehetőség a leíró módszer használata, amely egy rövid utasítás vagy név használatával írja le a következőket:
T = {a szárazföldi bolygók}
Set-Builder jelölés
A névjegyzék és a leíró módszerek alternatívája a set-builder-jelölés használata , amely egy rövidített módszer, amely leírja azt a szabályt, amelyet a készlet elemei követnek (az a szabály, amelyik egy adott csoport tagjaivá teszi őket) .
A nullához nagyobb természetes számok készlet-készítő jelölése:
{x | x ∈ N, x > 0 }
vagy
{x: x ∈ N, x > 0 }
A set-builder-jelölésben az "x" betű egy változó vagy helyőrző, amely más betűkkel helyettesíthető.
Szavak rövidítése
A set-builder jelöléssel használt rövidített karakterek a következők:
- A függőleges sáv vagy a vastagbél ( | vagy : karakterek) - olyan elválasztók, amelyeket ilyenként olvashatnak ;
- A kisbetűs epsilon ( ∈ karakter) - a következő elemeként olvasható ;
- A ∉ karakter - nem elemként szerepel.
Tehát {x | x ∈ N, x > 0 } a következőképpen értelmezhető:
"Az összes x halmaza , hogy x a természetes számkészlet eleme, és x nagyobb, mint 0."
Szettek és venn diagramok
A Venn-diagramot - amelyet néha set-diagramnak is neveznek - használják a különböző készletek elemei közötti kapcsolatok kimutatására.
A fenti képen a Venn-diagram átfedő része az E és F készlet metszéspontját mutatja (mindkét készlet közös elemei).
Az alábbiakban felsoroljuk a művelet készlet-készítő jelölését (a fejjel lefelé "U" a kereszteződést jelenti):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
A négyszögletes határ és az U betű a Venn-diagram sarkában az összes elemnek egyetemes halmazát jeleníti meg:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}